Я решала так: 2^{4х/(х^2+1)}≥0  4х/х^2+1≥1   Получилось квадратное уравнение: х²-4х+1=0 , дискриминант √20.  Подскажите, где ошибка?

у= 2^{4х/(х^2+1)} - определена на всей числовой оси.

y' = 2^{4х/(х^2+1)} * ln 2 * (4*(x²+1) - 4x*2x) / ( (x²+1)² )

Обозначим выражением 2^{4х/(х^2+1)} * ln 2 / ( (x²+1)² ) = A > 0 (т.к. все множители положительны) и снова запишем производную

y' = A * (4x²+4-8x²) = 4A * (1-x²) = -4A (x-1)(x+1)

______-_______-1__________+________1_______-_______->x

убыв.               Min           возраст.      Max      убыв.

Таким образом, мы нашли точки максимума и минимума функции на всей числовой оси.

Найдём наибольшее и наименьшее значение функции:

y_наим  = y(-1) = 2^-4/2  = 2^-2 = 1/4

y_наиб  = y(1) = 2^4/2  = 2² = 4

Так как функция непрерывна (это следует из определенности на всей числовой оси и элементарности функции), она принимает все значения между наименьшим и наибольшим значением.

Ответ: E_f = [1/4; 4]

ОГРОМНОЕ СПАСИБО!!!! Все теперь понятно. Что надо было находить область значений через производную.

Спасибо вам, учителя, за ваши знанья и уменья. Желаю вам во всём добра и исполинского терпенья! С праздником, дорогие наши учителя!!!